PEMBUATAN BAHAN AJAR
PEMBUATAN BAHAN AJAR
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Belajar dan Pembelajaran Matematika
Dosen Pengampu :
Dr. Rafiq Zulkarnaen, S.Pd., M.Pd.
Disusun Oleh :
Tifany Anggraeni Putri Solihat NPM 1810631050211
KELAS A
SEMESTER IV (EMPAT)
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG
Jl. HS.Ronggo Waluyo, Puseurjaya, Telukjambe Timur, Kabupaten Karawang, Jawa Barat 41361; Telepon : (0267) 641177, 641367, 642582; Fax : (0267) 641177, 641367, 642582, Website : http://www.unsika.ac.id
Email : info@unsika.ac.id
2020
atematika merupakan materi yang penuh dengan aturan dan argumentasi formal, dan deduktif-aksiomatik merupakan salah satu karakteristiknya. Oleh karenanya, keberhasilan siswa dalam belajar matematika sangat dipengaruhi oleh faktor internal dan eksternal.
Identifikasi keberhasilan siswa sangat penting dikuasai oleh guru, karena lintasan belajar (learning trajectory) menggambarkan urutan belajar yang harus ditempuh oleh siswa dan konsep-konsep matematika yang harus dipelajarinya (Prayitno & Kurniawan, 2017); dan faktor yang memberikan pengaruh lintasan belajar siswa dalam matematika, diantaranya bahan ajar matematika atau proses pembelajaran yang tidak terstruktur (Dedy & Sumiaty,2017).
Dalam proses pembelajaran matematika, secara alamiah siswa akan memperoleh kesulitan belajar (learning obstacle), dua diantaranya yaitu: didaktis sebagaii akibat pengajaran guru dan epistemologi yang disebabkan pengetahuan siswa yang terhadap materi yang terbatas. Dengan demikian, sangat penting bagi guru (mahasiwa calon guru) mampu menguasai dan mengidentifikasi berbagai kemungkinan kesulitan belajar matematika.
Sebelum mengidentifikasi kesulitan belajar matematika, guru maupun mahasiswa calon guru harus mampu memahami objek matematika. Objek matematika terdiri dari empat, yaitu: fakta, prinsip, konsep, dan prosedur
Fakta Fakta merupakan konvensi (kesepakatan) yang direpresentasikan dengan simbol matematika tertentu. Fakta dapat berupa simbol, ataupun rangkaian simbol.
Prinsip Prinsip adalah obyek matematika yang komplek. Prinsip dapat terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi
Konsep Ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek
Prosedur Prosedur adalah pengerjaan htung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lainnya.
Deret Arimatika
Tentukan Jumlah 15 bilangan genap pertama !
Penyelesaian :
Diketahui : Bilangan Genap adalah Bilangan bulat positif yang habis dibagi dua.
Ditanyakan : Jumlah suku atau S_n?
Dijawab :
Yang termasuk Bilangan Genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ...
Dari barisan diatas dapat diketahui bahwa suku pertama adalah 2 dan bedanya dapat dicari dengan selisih yaitu suku setelahnya dikurang suku sebelumnya yaitu sebagaii berikut.
b=U_2-U_1
b=4-2=2
Maka, dapat diketahui beda dari baris diatas adalah 2. Lalu kita ubah barisan diatas menjadi deret aritmatika.
2 + 4+ 6 + 8 + 10 + ....
Karena didalam soal diperintahkan mencari jumlah 15 suku pertama, maka kita gunakan rumus Sn dengan n=15.
S_n=n/2 (U_1+U_n )
S_n=n/2 (2U_1+(n-1)b)
S_15=15/2 (2.2+(15-1)2)
S_15=15/2 (4+14(2))
S_15=15/2 (4+28)
S_15=(15×32)/2
S_15=480/2
S_15=240
∴Jadi, jumlah suku 15 bilangan genap dengan beda 2 dan suku pertama 2 adalah 240.
Barisan Geometri
Suku ketiga dan suku kelima suatu barisan geometri berturut-turut 27 dan 243. Suku pertama barisan tersebut adalah ?
Penyelesaian :
Diketahui : U_3=27
U_5=243
Ditanyakan : U_1?
Dijawab :
U_3=U_1 r^(3-1)
U_3=U_1 r^2
Ubah U_3menjadi 27.
27=U_1 r^2…………… persamaan I
U_5=U_1 r^(5-1)
U_5=U_1 r^4
Ubah U_5 menjadi 243.
243=U_1 r^4…………… persamaan II
Eliminasi persamaan I dan II
243=U_1 r^4
27=U_1 r^2
243/27=r^2
9=r^2
r^2=9
r=√9=3
Ditemukan rasio = 3, substitusikan ke persamaan 1
27=U_1 r^2
27=U_1 3^2
27=U_1 9
〖9U〗_1=27
U_1=27/9=3
∴ Jadi diperoleh U_1=3 dari suku ketiga 27 dan suku kelima adalah 243.
Deret Geometri
Diberikan sebuah deret geometri sebagaii berikut.
24 + 12 + 6 + ...
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut !
Penyelesaian :
Diketahui : U_1=24
U_2=12
U_3=6
Ditanyakan : S_7?
Dijawab :
Kita cari dahulu rasio dari deret diatas.
r=U_2/U_1 =12/24=1/2
Rumus mencari jumlahinisuku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu adalah r<1
S_n=(U_1 (1-r^n))/(1-r)
Karena yang ditanyakan jumlah 7 suku pertama, maka n = 7
S_7=24(1-(1/2)^7 )/(1-1/2)=24[1-1/128]/(1/2)=24[(128-1)/128]/(1/2)=24[127/128]/(1/2)=24(127/128)×2/1
S_7=(48×127)/128=47,625
∴ Jadi, jumlah 7 suku pertama deret geometri diatas adalah 47,625
Pemberian materi matematika yang sedang dipelajari haruslah memperhatikan pengetahuan matematika yang sudah dikuasai oleh siswa, bukan dikarenakan materi matematika yang bersifat spiral tetapi juga didasarkan kepada skema asimilasi secara kognitif siswa. Skema asimilasi menggunakan pengalaman belajar siswa sebelumnya, dan membangun konsepsi baru melalui asimilasi ke dalam struktur kognitif dan akomodasi konsepsi sebelumnya (Daro, Mosher, & Corcoran, 2011). Salah satu cara yang dapat dilakukan oleh guru (maupun mahasiswa calon guru) untuk memberikan stimulus terhadap asimilasi- akomodasi kognitif siswa diantaranya dengan mengidentifikasi materi prayarat dan apersepsi pengetahuan dan kemampuan matematis siswa.
Secara umum, perkembangan kognitif siswa dimulai dengan hal yang konkrit dan secara bertahap mengarah ke hal yang bersifat abstrak. Bagi setiap siswa, lintasan belajar dari konkrit menuju abstrak dapat saja berbeda, dikarenakan ada siswa yang cepat dan ada yang lamban dalam belajar. Bagi siswa memiliki kemampuan belajar yang cepat mungkin tidak memerlukan banyak tahapan, tetapi bagi siswa yang lamban sekali tentunya melalui banyaktahapan (Prayitno & Kurniawan, 2017).
Dengan demikian bagi setiap siswa mungkin saja memerlukan learning trajectory atau lintasan belajar yang berbeda, tentunya hal ini akan dipengaruhi lingkungannya.
Kesulitan belajar (epistimologis dan didaktis) siswa yang telah diidentifikasi oleh guru dijadikan sebagaii acuan dalam menyusun desain pelaksanaan pembelajaran. Melalui desain pelaksanaan pembelajaran secara komprehensif dan simultan yang bertujuan menghasilkan pembelajaran yang bermutu dan bermakna bagi siswa. Meskipun demikian, hasil antisipasi kesulitan belajar dan lintasan belajar siswa masih bersifat dugaan (hipotesis) guru. Mengapa demikian? Hal ini sangat dipengaruhi oleh dua aspek, yaitu: persepsi guru terhadap level pemahaman siswa dan evaluasi pembelajaran (Mousley, Sullivan & Zevenbergen, 2004).
Penyelesaian :
Pokok bahasan yang harus disajikan guru ke siswa adalah Sistem Pertidaksamaan Linear dan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel dengan materi SMA kelas 10 semester 1.
Materi prasyarat untuk Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel adalah
PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan (ada empat, yaitu >,<,≥,≤, dan mengandung variabel (bisa diwakili huruf x atau yang lainnya). Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menentukan semua nilai variabel yang menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Nilai-nilai ini disebut penyelesaian dari pertidaksamaan. Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel pada prinsipnya sama dengan menyelesaikan persamaan linear satu variabel, yaitu menggunakan operasi penjumlahan atau perkalian pada kedua ruas.
Bentuk Umum PtLSV
ax+b<0,ax+b>0 atau ax+b≤0,atau ax+b≥0 dengan a≤0 a serta b merupakan bilangan real.
Himpunan Penyelesaian
Himpunan penyelesaian (HP) adalah himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan. Himpunan penyelesaian dapat dinyatakan dengan :
Himpunan selang atau iinterval
HP = {├ x┤|x>3,x∈R}
HP = {├ x┤|1<x≤4,x∈R}
HP = {├ x⌋-2≤x≤5,x∈R}
HP = {├ x┤|3≥x≥8,x∈R}
HP = {├ x┤|x<-2 atau x>2,x∈R}
Garis bilangan dalam bentuk garis, segmen garis, atau bagian berarsir
Selang atau iinterval himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan pada garis bilangan real dalam bentuk;
Sinar
Segmen Garis
Bagian Berarsir
Tanda bulatan berlubang (∘) berarti “tidak termasuk himpunan penyelesaian”, sedangkan tanda bulatan tertutup/noktah (•) berarti “termasuk himpunan penyelesaian”.
Bentuk-bentuk iinterval atau selang yang dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan.
Sifat Pertidaksamaan
Berikut ini sifat-sifat pertidaksamaan :
Sifat penjumlahan dan pengurangan
Jika a<b maka a+c<b+c dan a-c<b-c, dengan a,b,c∈R
Jika a>b maka a+c>b+c dan a-c>b-c, dengan a,b,c∈R
Sifat Perkalian
Jika a<b dan c>0 maka ac<bc
Jika a>b dan c>0 maka ac>bc
Jika a<b dan c<0 maka ac>bc
Jika a>b dan c<0 maka ac<bc
Sifat transitif
Jika a<b dan b<c maka a<c
Jika a>b dan b>c maka a>c
Untuk setiap a, b, c bilangan real berlaku sifat diatas.
Sifat Invers Perkalian
Untuk setiap a bilangan real dengan a≠0 berlaku sifat berikut.
Jika a>0 maka 1/a>0
Jika a<0 maka 1/a<0
Sifat non negatif
Jika a dan b bilangan rasional positif dan a<b maka a^2<b^2.
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat tertinggi satu dengan dua variabel.
Tak berhingga bahwa pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi PLDV. Dalam koordinat kartesian pasangan berurutan ini adalah koordinat titik-titik yang terletak pada satu garis lurus. Bahwa untuk menggambar garis lurus hanya diperlukan dua buah titik.
Bentuk umum PtLDV
ax+by<c atau ax+by≤c atau ax+by>c atau ax+by≥c dengan a,b,c∈R dan a,b keduanya tidak nol, serta x dan y sebagai variabel.
Ada tak hingga buah titik-titik yang memenuhi PtLDV. Kumpulan titik-titik yang memenuhi suatu PtLDV selalu terletak pada setengah bagian dari daerah yang dipsahkan oleh garis. Selanjutnya, garis ini disebut garis batas. Jika tanda dari PtLDV mengandung tanda “sama dengan” seperti ≤ atau ≥ maka titik-titik pada garis batas memenuhi PtLDV sehingga garis batas digambar sebagai garis batas digambar sebagai garis garis utuh. Jika tanda Pertidaksamaan tidak mengandung tanda “sama dengan” seperti < atau > maka titik-titik pada garis batas tidak memenuhi PtLDV, sehingga garis batas digambar sebagai garis putus-putus.
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan Kuadrat Satu Variabel
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat dua. Pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan :
Sketsa grafik, fungsi kuadrat
Garis bilangan
Bentuk Umum
ax^2+bx+c>0
〖ax〗^2+bx+c<0
〖ax〗^2+bx+c≥0
〖ax〗^2+bx+c≤0
Dengan a,b,c bilangan real dan a≠0
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut
Langkah 1
Tentukanlah pembuat nol dengan cara merubah tanda pertidaksamaan hngga menjad “sama dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang didapat yaitu pembuat nol menggunakan pemfaktoran.
Langkah 2
Gambarlah pembuat nol pada garis bilangan, lalu tentukan tanda masing-masing interval dengan cara mensubstitusikan sembarang bilangan yang ada pada tiap inteaval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) jika hasil substitusi bernilai positif dan tulis (-) jika hasil substitusi bernlai negatif.
Catatan :
Tanda untuk tiap interval yatu selalu berselang-seling (+)(-)(+) atau (-)(+)(-), kecual jika akar-akar kembar.
Tips :
Jika akar-akar yang didapat berbeda, cukup cari tanda pada satu interval saja, sisanya tunggal ditulis berselang-seling mengkuti pola di atas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar perhitungan lebih mudah (jika nol bukan merupakan pembuat nol)
Langkah 3
Tentukanlah daerah penyelesaian atau arsiran. Untuk pertidaksamaan “>” atau "≥", daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda positif (+).
Untuk pertidaksamaan “<” atau "≤", daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda negatf (-).
Langkah 4
Tulis sebuah himpunan penyelesaian, yatu interval yang memuat daerah penyelesaian. Himpunan penyelesaian ada pada ujung-ujung interval.
Contoh soal :
Tentukan HP dari –x^2-3x+4>0
Jawab :
Pembuat nol
-x^2-3x+4=0
x^2+3x-4=0
(x+4)(x-1)=0
x=-4∨x=1
Untuk interval -4<x<1, ambil x=0
-x^2-3x+4=-(0)^2-3(0)+4=4 (+)
-4 1
Karena pertidaksamaan bertanda “>”. Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).
∴HP={-4<X<1}
Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang variabelnya dua dan pangkat tertingginya dua.
Contoh :
〖2x〗^2+3y-5>0
3). – Pemfaktoran
- Operasi Hitung
4) Kesulitan yang saya alami, soal yang saya baca harus diapakan terlebih dahulu untuk menemukan himpunan penyelesaian, kemudian jika diketahui dalam bentuk grafik saya selalu menyerah untuk mengerjakannya waktu saya SMA.
Daftar Pustaka
Daro, P., Mosher, F. A., & Corcoran, T. (2011). Learning Trajectories in Mathemat ics
Education: A Foundation for Standards, Curriculum, Assessment, and Instruction. CPRE
Research Report #RR-68, (December 2014), 81–89.
Dedy, E., & Sumiaty, E. (2017). Desain Didaktis Bahan Ajar Matematika SMP Berbasis
Learning Obstacle dan Learning Trajectory. Jurnal Review Pembelajaran Matematika,
2(1), 69–80.
Mousley, J., Sullivan, P. and Zevenbergen, R. (2004) Alternative learningtrajectories, in
Mathematics education for the third millennium: towards 2010, Merga, Pymble, N.S.W.
Prayitno, L. L., & Kurniawan, A. P. (2017). Learning Trajectory Siswa dalam Memecahkan
Masalah Kelipatan Persekutuan Terkecil Ditinjau dari Kemampuan Matematika. Jurnal
Review Pembelajaran Matematika, 2(1), 15–27.
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Belajar dan Pembelajaran Matematika
Dosen Pengampu :
Dr. Rafiq Zulkarnaen, S.Pd., M.Pd.
Disusun Oleh :
Tifany Anggraeni Putri Solihat NPM 1810631050211
KELAS A
SEMESTER IV (EMPAT)
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG
Jl. HS.Ronggo Waluyo, Puseurjaya, Telukjambe Timur, Kabupaten Karawang, Jawa Barat 41361; Telepon : (0267) 641177, 641367, 642582; Fax : (0267) 641177, 641367, 642582, Website : http://www.unsika.ac.id
Email : info@unsika.ac.id
2020
atematika merupakan materi yang penuh dengan aturan dan argumentasi formal, dan deduktif-aksiomatik merupakan salah satu karakteristiknya. Oleh karenanya, keberhasilan siswa dalam belajar matematika sangat dipengaruhi oleh faktor internal dan eksternal.
Identifikasi keberhasilan siswa sangat penting dikuasai oleh guru, karena lintasan belajar (learning trajectory) menggambarkan urutan belajar yang harus ditempuh oleh siswa dan konsep-konsep matematika yang harus dipelajarinya (Prayitno & Kurniawan, 2017); dan faktor yang memberikan pengaruh lintasan belajar siswa dalam matematika, diantaranya bahan ajar matematika atau proses pembelajaran yang tidak terstruktur (Dedy & Sumiaty,2017).
Dalam proses pembelajaran matematika, secara alamiah siswa akan memperoleh kesulitan belajar (learning obstacle), dua diantaranya yaitu: didaktis sebagaii akibat pengajaran guru dan epistemologi yang disebabkan pengetahuan siswa yang terhadap materi yang terbatas. Dengan demikian, sangat penting bagi guru (mahasiwa calon guru) mampu menguasai dan mengidentifikasi berbagai kemungkinan kesulitan belajar matematika.
Sebelum mengidentifikasi kesulitan belajar matematika, guru maupun mahasiswa calon guru harus mampu memahami objek matematika. Objek matematika terdiri dari empat, yaitu: fakta, prinsip, konsep, dan prosedur
Fakta Fakta merupakan konvensi (kesepakatan) yang direpresentasikan dengan simbol matematika tertentu. Fakta dapat berupa simbol, ataupun rangkaian simbol.
Prinsip Prinsip adalah obyek matematika yang komplek. Prinsip dapat terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi
Konsep Ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek
Prosedur Prosedur adalah pengerjaan htung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lainnya.
Deret Arimatika
Tentukan Jumlah 15 bilangan genap pertama !
Penyelesaian :
Diketahui : Bilangan Genap adalah Bilangan bulat positif yang habis dibagi dua.
Ditanyakan : Jumlah suku atau S_n?
Dijawab :
Yang termasuk Bilangan Genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ...
Dari barisan diatas dapat diketahui bahwa suku pertama adalah 2 dan bedanya dapat dicari dengan selisih yaitu suku setelahnya dikurang suku sebelumnya yaitu sebagaii berikut.
b=U_2-U_1
b=4-2=2
Maka, dapat diketahui beda dari baris diatas adalah 2. Lalu kita ubah barisan diatas menjadi deret aritmatika.
2 + 4+ 6 + 8 + 10 + ....
Karena didalam soal diperintahkan mencari jumlah 15 suku pertama, maka kita gunakan rumus Sn dengan n=15.
S_n=n/2 (U_1+U_n )
S_n=n/2 (2U_1+(n-1)b)
S_15=15/2 (2.2+(15-1)2)
S_15=15/2 (4+14(2))
S_15=15/2 (4+28)
S_15=(15×32)/2
S_15=480/2
S_15=240
∴Jadi, jumlah suku 15 bilangan genap dengan beda 2 dan suku pertama 2 adalah 240.
Barisan Geometri
Suku ketiga dan suku kelima suatu barisan geometri berturut-turut 27 dan 243. Suku pertama barisan tersebut adalah ?
Penyelesaian :
Diketahui : U_3=27
U_5=243
Ditanyakan : U_1?
Dijawab :
U_3=U_1 r^(3-1)
U_3=U_1 r^2
Ubah U_3menjadi 27.
27=U_1 r^2…………… persamaan I
U_5=U_1 r^(5-1)
U_5=U_1 r^4
Ubah U_5 menjadi 243.
243=U_1 r^4…………… persamaan II
Eliminasi persamaan I dan II
243=U_1 r^4
27=U_1 r^2
243/27=r^2
9=r^2
r^2=9
r=√9=3
Ditemukan rasio = 3, substitusikan ke persamaan 1
27=U_1 r^2
27=U_1 3^2
27=U_1 9
〖9U〗_1=27
U_1=27/9=3
∴ Jadi diperoleh U_1=3 dari suku ketiga 27 dan suku kelima adalah 243.
Deret Geometri
Diberikan sebuah deret geometri sebagaii berikut.
24 + 12 + 6 + ...
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut !
Penyelesaian :
Diketahui : U_1=24
U_2=12
U_3=6
Ditanyakan : S_7?
Dijawab :
Kita cari dahulu rasio dari deret diatas.
r=U_2/U_1 =12/24=1/2
Rumus mencari jumlahinisuku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu adalah r<1
S_n=(U_1 (1-r^n))/(1-r)
Karena yang ditanyakan jumlah 7 suku pertama, maka n = 7
S_7=24(1-(1/2)^7 )/(1-1/2)=24[1-1/128]/(1/2)=24[(128-1)/128]/(1/2)=24[127/128]/(1/2)=24(127/128)×2/1
S_7=(48×127)/128=47,625
∴ Jadi, jumlah 7 suku pertama deret geometri diatas adalah 47,625
Pemberian materi matematika yang sedang dipelajari haruslah memperhatikan pengetahuan matematika yang sudah dikuasai oleh siswa, bukan dikarenakan materi matematika yang bersifat spiral tetapi juga didasarkan kepada skema asimilasi secara kognitif siswa. Skema asimilasi menggunakan pengalaman belajar siswa sebelumnya, dan membangun konsepsi baru melalui asimilasi ke dalam struktur kognitif dan akomodasi konsepsi sebelumnya (Daro, Mosher, & Corcoran, 2011). Salah satu cara yang dapat dilakukan oleh guru (maupun mahasiswa calon guru) untuk memberikan stimulus terhadap asimilasi- akomodasi kognitif siswa diantaranya dengan mengidentifikasi materi prayarat dan apersepsi pengetahuan dan kemampuan matematis siswa.
Secara umum, perkembangan kognitif siswa dimulai dengan hal yang konkrit dan secara bertahap mengarah ke hal yang bersifat abstrak. Bagi setiap siswa, lintasan belajar dari konkrit menuju abstrak dapat saja berbeda, dikarenakan ada siswa yang cepat dan ada yang lamban dalam belajar. Bagi siswa memiliki kemampuan belajar yang cepat mungkin tidak memerlukan banyak tahapan, tetapi bagi siswa yang lamban sekali tentunya melalui banyaktahapan (Prayitno & Kurniawan, 2017).
Dengan demikian bagi setiap siswa mungkin saja memerlukan learning trajectory atau lintasan belajar yang berbeda, tentunya hal ini akan dipengaruhi lingkungannya.
Kesulitan belajar (epistimologis dan didaktis) siswa yang telah diidentifikasi oleh guru dijadikan sebagaii acuan dalam menyusun desain pelaksanaan pembelajaran. Melalui desain pelaksanaan pembelajaran secara komprehensif dan simultan yang bertujuan menghasilkan pembelajaran yang bermutu dan bermakna bagi siswa. Meskipun demikian, hasil antisipasi kesulitan belajar dan lintasan belajar siswa masih bersifat dugaan (hipotesis) guru. Mengapa demikian? Hal ini sangat dipengaruhi oleh dua aspek, yaitu: persepsi guru terhadap level pemahaman siswa dan evaluasi pembelajaran (Mousley, Sullivan & Zevenbergen, 2004).
Penyelesaian :
Pokok bahasan yang harus disajikan guru ke siswa adalah Sistem Pertidaksamaan Linear dan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel dengan materi SMA kelas 10 semester 1.
Materi prasyarat untuk Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel adalah
PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan (ada empat, yaitu >,<,≥,≤, dan mengandung variabel (bisa diwakili huruf x atau yang lainnya). Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menentukan semua nilai variabel yang menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Nilai-nilai ini disebut penyelesaian dari pertidaksamaan. Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel pada prinsipnya sama dengan menyelesaikan persamaan linear satu variabel, yaitu menggunakan operasi penjumlahan atau perkalian pada kedua ruas.
Bentuk Umum PtLSV
ax+b<0,ax+b>0 atau ax+b≤0,atau ax+b≥0 dengan a≤0 a serta b merupakan bilangan real.
Himpunan Penyelesaian
Himpunan penyelesaian (HP) adalah himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan. Himpunan penyelesaian dapat dinyatakan dengan :
Himpunan selang atau iinterval
HP = {├ x┤|x>3,x∈R}
HP = {├ x┤|1<x≤4,x∈R}
HP = {├ x⌋-2≤x≤5,x∈R}
HP = {├ x┤|3≥x≥8,x∈R}
HP = {├ x┤|x<-2 atau x>2,x∈R}
Garis bilangan dalam bentuk garis, segmen garis, atau bagian berarsir
Selang atau iinterval himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan pada garis bilangan real dalam bentuk;
Sinar
Segmen Garis
Bagian Berarsir
Tanda bulatan berlubang (∘) berarti “tidak termasuk himpunan penyelesaian”, sedangkan tanda bulatan tertutup/noktah (•) berarti “termasuk himpunan penyelesaian”.
Bentuk-bentuk iinterval atau selang yang dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan.
Sifat Pertidaksamaan
Berikut ini sifat-sifat pertidaksamaan :
Sifat penjumlahan dan pengurangan
Jika a<b maka a+c<b+c dan a-c<b-c, dengan a,b,c∈R
Jika a>b maka a+c>b+c dan a-c>b-c, dengan a,b,c∈R
Sifat Perkalian
Jika a<b dan c>0 maka ac<bc
Jika a>b dan c>0 maka ac>bc
Jika a<b dan c<0 maka ac>bc
Jika a>b dan c<0 maka ac<bc
Sifat transitif
Jika a<b dan b<c maka a<c
Jika a>b dan b>c maka a>c
Untuk setiap a, b, c bilangan real berlaku sifat diatas.
Sifat Invers Perkalian
Untuk setiap a bilangan real dengan a≠0 berlaku sifat berikut.
Jika a>0 maka 1/a>0
Jika a<0 maka 1/a<0
Sifat non negatif
Jika a dan b bilangan rasional positif dan a<b maka a^2<b^2.
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat tertinggi satu dengan dua variabel.
Tak berhingga bahwa pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi PLDV. Dalam koordinat kartesian pasangan berurutan ini adalah koordinat titik-titik yang terletak pada satu garis lurus. Bahwa untuk menggambar garis lurus hanya diperlukan dua buah titik.
Bentuk umum PtLDV
ax+by<c atau ax+by≤c atau ax+by>c atau ax+by≥c dengan a,b,c∈R dan a,b keduanya tidak nol, serta x dan y sebagai variabel.
Ada tak hingga buah titik-titik yang memenuhi PtLDV. Kumpulan titik-titik yang memenuhi suatu PtLDV selalu terletak pada setengah bagian dari daerah yang dipsahkan oleh garis. Selanjutnya, garis ini disebut garis batas. Jika tanda dari PtLDV mengandung tanda “sama dengan” seperti ≤ atau ≥ maka titik-titik pada garis batas memenuhi PtLDV sehingga garis batas digambar sebagai garis batas digambar sebagai garis garis utuh. Jika tanda Pertidaksamaan tidak mengandung tanda “sama dengan” seperti < atau > maka titik-titik pada garis batas tidak memenuhi PtLDV, sehingga garis batas digambar sebagai garis putus-putus.
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan Kuadrat Satu Variabel
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat dua. Pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan :
Sketsa grafik, fungsi kuadrat
Garis bilangan
Bentuk Umum
ax^2+bx+c>0
〖ax〗^2+bx+c<0
〖ax〗^2+bx+c≥0
〖ax〗^2+bx+c≤0
Dengan a,b,c bilangan real dan a≠0
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut
Langkah 1
Tentukanlah pembuat nol dengan cara merubah tanda pertidaksamaan hngga menjad “sama dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang didapat yaitu pembuat nol menggunakan pemfaktoran.
Langkah 2
Gambarlah pembuat nol pada garis bilangan, lalu tentukan tanda masing-masing interval dengan cara mensubstitusikan sembarang bilangan yang ada pada tiap inteaval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) jika hasil substitusi bernilai positif dan tulis (-) jika hasil substitusi bernlai negatif.
Catatan :
Tanda untuk tiap interval yatu selalu berselang-seling (+)(-)(+) atau (-)(+)(-), kecual jika akar-akar kembar.
Tips :
Jika akar-akar yang didapat berbeda, cukup cari tanda pada satu interval saja, sisanya tunggal ditulis berselang-seling mengkuti pola di atas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar perhitungan lebih mudah (jika nol bukan merupakan pembuat nol)
Langkah 3
Tentukanlah daerah penyelesaian atau arsiran. Untuk pertidaksamaan “>” atau "≥", daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda positif (+).
Untuk pertidaksamaan “<” atau "≤", daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda negatf (-).
Langkah 4
Tulis sebuah himpunan penyelesaian, yatu interval yang memuat daerah penyelesaian. Himpunan penyelesaian ada pada ujung-ujung interval.
Contoh soal :
Tentukan HP dari –x^2-3x+4>0
Jawab :
Pembuat nol
-x^2-3x+4=0
x^2+3x-4=0
(x+4)(x-1)=0
x=-4∨x=1
Untuk interval -4<x<1, ambil x=0
-x^2-3x+4=-(0)^2-3(0)+4=4 (+)
-4 1
Karena pertidaksamaan bertanda “>”. Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).
∴HP={-4<X<1}
Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang variabelnya dua dan pangkat tertingginya dua.
Contoh :
〖2x〗^2+3y-5>0
3). – Pemfaktoran
- Operasi Hitung
4) Kesulitan yang saya alami, soal yang saya baca harus diapakan terlebih dahulu untuk menemukan himpunan penyelesaian, kemudian jika diketahui dalam bentuk grafik saya selalu menyerah untuk mengerjakannya waktu saya SMA.
Daftar Pustaka
Daro, P., Mosher, F. A., & Corcoran, T. (2011). Learning Trajectories in Mathemat ics
Education: A Foundation for Standards, Curriculum, Assessment, and Instruction. CPRE
Research Report #RR-68, (December 2014), 81–89.
Dedy, E., & Sumiaty, E. (2017). Desain Didaktis Bahan Ajar Matematika SMP Berbasis
Learning Obstacle dan Learning Trajectory. Jurnal Review Pembelajaran Matematika,
2(1), 69–80.
Mousley, J., Sullivan, P. and Zevenbergen, R. (2004) Alternative learningtrajectories, in
Mathematics education for the third millennium: towards 2010, Merga, Pymble, N.S.W.
Prayitno, L. L., & Kurniawan, A. P. (2017). Learning Trajectory Siswa dalam Memecahkan
Masalah Kelipatan Persekutuan Terkecil Ditinjau dari Kemampuan Matematika. Jurnal
Review Pembelajaran Matematika, 2(1), 15–27.
Komentar
Posting Komentar